Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} + 4 x y + 40 x + 6 y^{2} + 20 y - 50 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 20$$
$$a_{22} = 6$$
$$a_{23} = 10$$
$$a_{33} = -50$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 2\\2 & 6\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 50$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$9 x_{0} + 2 y_{0} + 20 = 0$$
$$2 x_{0} + 6 y_{0} + 10 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -2$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 20 x_{0} + 10 y_{0} - 50$$
$$a'_{33} = -100$$
entonces la ecuación se transformará en
$$9 x'^{2} + 4 x' y' + 6 y'^{2} - 100 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$9 x'^{2} + 4 x' y' + 6 y'^{2} - 100 = 0$$
en
$$6 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 9 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 100 = 0$$
simplificamos
$$10 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 100 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
2 2
\tilde x \tilde y
----------- + ---------- = 1
2 2
// ____\\ // ___\\
||\/ 10 || ||\/ 5 ||
||------|| ||-----||
|\ 10 /| |\ 5 /|
|--------| |-------|
\ 1/10 / \ 1/10 /
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2, -1)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$