Sr Examen

Otras calculadoras

Forma canónica/ 9x^2+4xy+6y^2+40x+20y-50=0

9x^2+4xy+6y^2+40x+20y-50=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
         2      2                          
-50 + 6*y  + 9*x  + 20*y + 40*x + 4*x*y = 0
9x2+4xy+40x+6y2+20y−50=09 x^{2} + 4 x y + 40 x + 6 y^{2} + 20 y - 50 = 0 
9*x^2 + 4*x*y + 40*x + 6*y^2 + 20*y - 50 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2+4xy+40x+6y2+20y−50=09 x^{2} + 4 x y + 40 x + 6 y^{2} + 20 y - 50 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=2a_{12} = 2
a13=20a_{13} = 20
a22=6a_{22} = 6
a23=10a_{23} = 10
a33=−50a_{33} = -50
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣9226∣\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 2\\2 & 6\end{matrix}\right|
Δ=50\Delta = 50
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
9x0+2y0+20=09 x_{0} + 2 y_{0} + 20 = 0
2x0+6y0+10=02 x_{0} + 6 y_{0} + 10 = 0
entonces
x0=−2x_{0} = -2
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=20x0+10y0−50a'_{33} = 20 x_{0} + 10 y_{0} - 50
a33′=−100a'_{33} = -100
entonces la ecuación se transformará en
9x′2+4x′y′+6y′2−100=09 x'^{2} + 4 x' y' + 6 y'^{2} - 100 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=34\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}
entonces
ϕ=acot⁡(34)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=45\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=55\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5−5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=5x~5+25y~5y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
9x′2+4x′y′+6y′2−100=09 x'^{2} + 4 x' y' + 6 y'^{2} - 100 = 0
en
6(5x~5+25y~5)2+4(5x~5+25y~5)(25x~5−5y~5)+9(25x~5−5y~5)2−100=06 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 9 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 100 = 0
simplificamos
10x~2+5y~2−100=010 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 100 = 0
Esta ecuación es una elipsis
         2            2     
 \tilde x     \tilde y      
----------- + ---------- = 1
          2            2    
//  ____\\    //  ___\\     
||\/ 10 ||    ||\/ 5 ||     
||------||    ||-----||     
|\  10  /|    |\  5  /|     
|--------|    |-------|     
\  1/10  /    \  1/10 /

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, 55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(−55, 255)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2+4xy+40x+6y2+20y−50=09 x^{2} + 4 x y + 40 x + 6 y^{2} + 20 y - 50 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=2a_{12} = 2
a13=20a_{13} = 20
a22=6a_{22} = 6
a23=10a_{23} = 10
a33=−50a_{33} = -50
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=15I_{1} = 15
     |9  2|
I2 = |    |
     |2  6|

I3=∣922026102010−50∣I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 2 & 20\\2 & 6 & 10\\20 & 10 & -50\end{matrix}\right|
I(λ)=∣9−λ226−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 2\\2 & 6 - \lambda\end{matrix}\right|
     |9   20 |   |6   10 |
K2 = |       | + |       |
     |20  -50|   |10  -50|

I1=15I_{1} = 15
I2=50I_{2} = 50
I3=−5000I_{3} = -5000
I(λ)=λ2−15λ+50I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda + 50
K2=−1250K_{2} = -1250
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−15λ+50=0\lambda^{2} - 15 \lambda + 50 = 0
λ1=10\lambda_{1} = 10
λ2=5\lambda_{2} = 5
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
10x~2+5y~2−100=010 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 100 = 0
         2            2     
 \tilde x     \tilde y      
----------- + ---------- = 1
          2            2    
//  ____\\    //  ___\\     
||\/ 10 ||    ||\/ 5 ||     
||------||    ||-----||     
|\  10  /|    |\  5  /|     
|--------|    |-------|     
\  1/10  /    \  1/10 /

- está reducida a la forma canónica
    © Sr Examen – Калькулятор