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Forma canónica/ 3x^2+6x-15y+15=0

3x^2+6x-15y+15=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
               2          
15 - 15*y + 3*x  + 6*x = 0
3x2+6x−15y+15=03 x^{2} + 6 x - 15 y + 15 = 0 
3*x^2 + 6*x - 15*y + 15 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+6x−15y+15=03 x^{2} + 6 x - 15 y + 15 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=0a_{12} = 0
a13=3a_{13} = 3
a22=0a_{22} = 0
a23=−152a_{23} = - \frac{15}{2}
a33=15a_{33} = 15
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣3000∣\Delta = \left|\begin{matrix}3 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=0⋅0x_{0} = 0 \cdot 0
y0=0⋅0y_{0} = 0 \cdot 0
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+6x−15y+15=03 x^{2} + 6 x - 15 y + 15 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=0a_{12} = 0
a13=3a_{13} = 3
a22=0a_{22} = 0
a23=−152a_{23} = - \frac{15}{2}
a33=15a_{33} = 15
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=3I_{1} = 3
     |3  0|
I2 = |    |
     |0  0|

I3=∣30300−1523−15215∣I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & 0 & - \frac{15}{2}\\3 & - \frac{15}{2} & 15\end{matrix}\right|
I(λ)=∣3−λ00−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|
     |3  3 |   |  0    -15/2|
K2 = |     | + |            |
     |3  15|   |-15/2   15  |

I1=3I_{1} = 3
I2=0I_{2} = 0
I3=−6754I_{3} = - \frac{675}{4}
I(λ)=λ2−3λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda
K2=−814K_{2} = - \frac{81}{4}
Como
I2=0∧I3≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
I1y~2+2x~−I3I1=0I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0
o
15x~+3y~2=015 \tilde x + 3 \tilde y^{2} = 0
y~2=5x~\tilde y^{2} = 5 \tilde x
- está reducida a la forma canónica
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