Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- x=2*y*y-12*y+14
- (x-y)^2+x^2=a^2
- -z=2x^2+18y^2
- z^2-xy=0
- Derivada de:
-
a^2
- Límite de la función:
- a^2
- Integral de d{x}:
- a^2
-
Expresiones idénticas
- (x-y)^ dos +x^ dos =a^ dos
- (x menos y) al cuadrado más x al cuadrado es igual a a al cuadrado
- (x menos y) en el grado dos más x en el grado dos es igual a a en el grado dos
- (x-y)2+x2=a2
- x-y2+x2=a2
- (x-y)²+x²=a²
- (x-y) en el grado 2+x en el grado 2=a en el grado 2
- x-y^2+x^2=a^2
-
Expresiones semejantes
- (x+y)^2+x^2=a^2
- (x-y)^2-x^2=a^2
(x-y)^2+x^2=a^2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 x + (x - y) - a = 0
$$- a^{2} + x^{2} + \left(x - y\right)^{2} = 0$$
-a^2 + x^2 + (x - y)^2 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$- a^{2} + x^{2} + \left(x - y\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a^{2} a_{33} + 2 a a_{13} x + 2 a a_{23} y + 2 a a_{34} + a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{24} y + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 0\\-1 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -1 & 0\\-1 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = -2$$
$$I_{3} = -1$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + 2 \lambda - 1$$
$$K_{2} = 0$$
$$K_{3} = 0$$
Como
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = -1$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\lambda_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde a^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$\tilde a^{2} \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \tilde x^{2} + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 0$$
$$- \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \left(\frac{\tilde a^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica
$$- a^{2} + x^{2} + \left(x - y\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a^{2} a_{33} + 2 a a_{13} x + 2 a a_{23} y + 2 a a_{34} + a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{24} y + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 2$$
|2 -1| |1 0 | |2 0 |
I2 = | | + | | + | |
|-1 1 | |0 -1| |0 -1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 0\\-1 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -1 & 0\\-1 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
|2 0| |1 0| |-1 0|
K2 = | | + | | + | |
|0 0| |0 0| |0 0| |2 -1 0| |1 0 0| |2 0 0|
| | | | | |
K3 = |-1 1 0| + |0 -1 0| + |0 -1 0|
| | | | | |
|0 0 0| |0 0 0| |0 0 0|$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = -2$$
$$I_{3} = -1$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + 2 \lambda - 1$$
$$K_{2} = 0$$
$$K_{3} = 0$$
Como
I3 != 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = -1$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\lambda_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde a^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$\tilde a^{2} \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \tilde x^{2} + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 0$$
$$- \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \left(\frac{\tilde a^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica