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Forma canónica/ x^2+y^2+x*y+x-y+1=0

x^2+y^2+x*y+x-y+1=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
         2    2              
1 + x + x  + y  - y + x*y = 0
x2+xy+x+y2−y+1=0x^{2} + x y + x + y^{2} - y + 1 = 0 
x^2 + x*y + x + y^2 - y + 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+xy+x+y2−y+1=0x^{2} + x y + x + y^{2} - y + 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=12a_{13} = \frac{1}{2}
a22=1a_{22} = 1
a23=−12a_{23} = - \frac{1}{2}
a33=1a_{33} = 1
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣112121∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right|
Δ=34\Delta = \frac{3}{4}
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0+y02+12=0x_{0} + \frac{y_{0}}{2} + \frac{1}{2} = 0
x02+y0−12=0\frac{x_{0}}{2} + y_{0} - \frac{1}{2} = 0
entonces
x0=−1x_{0} = -1
y0=1y_{0} = 1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x02−y02+1a'_{33} = \frac{x_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} + 1
a33′=0a'_{33} = 0
entonces la ecuación se transformará en
x′2+x′y′+y′2=0x'^{2} + x' y' + y'^{2} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=0\cot{\left(2 \phi \right)} = 0
entonces
ϕ=π4\phi = \frac{\pi}{4}
sin⁡(2ϕ)=1\sin{\left(2 \phi \right)} = 1
cos⁡(2ϕ)=0\cos{\left(2 \phi \right)} = 0
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=22\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡(ϕ)=22\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sustituimos coeficientes
x′=2x~2−2y~2x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
y′=2x~2+2y~2y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
x′2+x′y′+y′2=0x'^{2} + x' y' + y'^{2} = 0
en
(2x~2−2y~2)2+(2x~2−2y~2)(2x~2+2y~2)+(2x~2+2y~2)2=0\left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} = 0
simplificamos
3x~22+y~22=0\frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0
Esta ecuación es una elipsis degenerada
x~2(63)2+y~2(2)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, 1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(22, 22)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
e⃗2=(−22, 22)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+xy+x+y2−y+1=0x^{2} + x y + x + y^{2} - y + 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=12a_{13} = \frac{1}{2}
a22=1a_{22} = 1
a23=−12a_{23} = - \frac{1}{2}
a33=1a_{33} = 1
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=2I_{1} = 2
     | 1   1/2|
I2 = |        |
     |1/2   1 |

I3=∣11212121−1212−121∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ12121−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     | 1   1/2|   | 1    -1/2|
K2 = |        | + |          |
     |1/2   1 |   |-1/2   1  |

I1=2I_{1} = 2
I2=34I_{2} = \frac{3}{4}
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−2λ+34I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{3}{4}
K2=32K_{2} = \frac{3}{2}
Como
I3=0∧I2>0I_{3} = 0 \wedge I_{2} > 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−2λ+34=0\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{3}{4} = 0
λ1=32\lambda_{1} = \frac{3}{2}
λ2=12\lambda_{2} = \frac{1}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
3x~22+y~22=0\frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0
x~2(63)2+y~2(2)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
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