Derivada de x*tg(2-x^3)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(2 - x^{3} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(2 - x^{3} \right)} = - \frac{\sin{\left(x^{3} - 2 \right)}}{\cos{\left(x^{3} - 2 \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} - 2 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{3} - 2 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x^{3} - 2$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2\right)$:

            1. diferenciamos $x^{3} - 2$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

               Como resultado de: $3 x^{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $3 x^{2} \cos{\left(x^{3} - 2 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x^{3} - 2$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2\right)$:

            1. diferenciamos $x^{3} - 2$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

               Como resultado de: $3 x^{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 x^{2} \sin{\left(x^{3} - 2 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{3 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{3 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{x \left(3 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}} + \tan{\left(2 - x^{3} \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{3 x^{3}}{\cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}} - \tan{\left(x^{3} - 2 \right)}$

Respuesta:

$- \frac{3 x^{3}}{\cos^{2}{\left(x^{3} - 2 \right)}} - \tan{\left(x^{3} - 2 \right)}$