Sr Examen

Derivada de ctg(2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
cot(2*x)
cot(2x)\cot{\left(2 x \right)}
cot(2*x)
Solución detallada
  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

    Method #1

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot(2x)=1tan(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}

    2. Sustituimos u=tan(2x)u = \tan{\left(2 x \right)}.

    3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(2x)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan(2x)=sin(2x)cos(2x)\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y g(x)=cos(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2cos(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        2sin2(2x)+2cos2(2x)cos2(2x)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2sin2(2x)+2cos2(2x)cos2(2x)tan2(2x)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}

    Method #2

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot(2x)=cos(2x)sin(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} y g(x)=sin(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2cos(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2sin2(2x)2cos2(2x)sin2(2x)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

  2. Simplificamos:

    4cos(4x)1\frac{4}{\cos{\left(4 x \right)} - 1}


Respuesta:

4cos(4x)1\frac{4}{\cos{\left(4 x \right)} - 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Primera derivada [src]
          2     
-2 - 2*cot (2*x)
2cot2(2x)2- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2
Segunda derivada [src]
  /       2     \         
8*\1 + cot (2*x)/*cot(2*x)
8(cot2(2x)+1)cot(2x)8 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cot{\left(2 x \right)}
Tercera derivada [src]
    /       2     \ /         2     \
-16*\1 + cot (2*x)/*\1 + 3*cot (2*x)/
16(cot2(2x)+1)(3cot2(2x)+1)- 16 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)
Gráfico
Derivada de ctg(2x)