Derivada de y=√x(tgx-1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = t x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $t$

   $g{\left(x \right)} = \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)} - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)$:

      1. diferenciamos $\tan{\left(x \right)} - 1$ miembro por miembro:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         3. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan{\left(x \right)} - 2\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{t x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan{\left(x \right)} - 2\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + t \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{t \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \left(2 x - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{t \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \left(2 x - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$