Sr Examen

Derivada de y=3ctgb5

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
3*cot(b5)
3cot(b5)3 \cot{\left(b_{5} \right)}
3*cot(b5)
Solución detallada
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot(b5)=1tan(b5)\cot{\left(b_{5} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(b_{5} \right)}}

      2. Sustituimos u=tan(b5)u = \tan{\left(b_{5} \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddb5tan(b5)\frac{d}{d b_{5}} \tan{\left(b_{5} \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan(b5)=sin(b5)cos(b5)\tan{\left(b_{5} \right)} = \frac{\sin{\left(b_{5} \right)}}{\cos{\left(b_{5} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddb5f(b5)g(b5)=f(b5)ddb5g(b5)+g(b5)ddb5f(b5)g2(b5)\frac{d}{d b_{5}} \frac{f{\left(b_{5} \right)}}{g{\left(b_{5} \right)}} = \frac{- f{\left(b_{5} \right)} \frac{d}{d b_{5}} g{\left(b_{5} \right)} + g{\left(b_{5} \right)} \frac{d}{d b_{5}} f{\left(b_{5} \right)}}{g^{2}{\left(b_{5} \right)}}

          f(b5)=sin(b5)f{\left(b_{5} \right)} = \sin{\left(b_{5} \right)} y g(b5)=cos(b5)g{\left(b_{5} \right)} = \cos{\left(b_{5} \right)}.

          Para calcular ddb5f(b5)\frac{d}{d b_{5}} f{\left(b_{5} \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddb5sin(b5)=cos(b5)\frac{d}{d b_{5}} \sin{\left(b_{5} \right)} = \cos{\left(b_{5} \right)}

          Para calcular ddb5g(b5)\frac{d}{d b_{5}} g{\left(b_{5} \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddb5cos(b5)=sin(b5)\frac{d}{d b_{5}} \cos{\left(b_{5} \right)} = - \sin{\left(b_{5} \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin2(b5)+cos2(b5)cos2(b5)\frac{\sin^{2}{\left(b_{5} \right)} + \cos^{2}{\left(b_{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(b_{5} \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin2(b5)+cos2(b5)cos2(b5)tan2(b5)- \frac{\sin^{2}{\left(b_{5} \right)} + \cos^{2}{\left(b_{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(b_{5} \right)} \tan^{2}{\left(b_{5} \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot(b5)=cos(b5)sin(b5)\cot{\left(b_{5} \right)} = \frac{\cos{\left(b_{5} \right)}}{\sin{\left(b_{5} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddb5f(b5)g(b5)=f(b5)ddb5g(b5)+g(b5)ddb5f(b5)g2(b5)\frac{d}{d b_{5}} \frac{f{\left(b_{5} \right)}}{g{\left(b_{5} \right)}} = \frac{- f{\left(b_{5} \right)} \frac{d}{d b_{5}} g{\left(b_{5} \right)} + g{\left(b_{5} \right)} \frac{d}{d b_{5}} f{\left(b_{5} \right)}}{g^{2}{\left(b_{5} \right)}}

        f(b5)=cos(b5)f{\left(b_{5} \right)} = \cos{\left(b_{5} \right)} y g(b5)=sin(b5)g{\left(b_{5} \right)} = \sin{\left(b_{5} \right)}.

        Para calcular ddb5f(b5)\frac{d}{d b_{5}} f{\left(b_{5} \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddb5cos(b5)=sin(b5)\frac{d}{d b_{5}} \cos{\left(b_{5} \right)} = - \sin{\left(b_{5} \right)}

        Para calcular ddb5g(b5)\frac{d}{d b_{5}} g{\left(b_{5} \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddb5sin(b5)=cos(b5)\frac{d}{d b_{5}} \sin{\left(b_{5} \right)} = \cos{\left(b_{5} \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin2(b5)cos2(b5)sin2(b5)\frac{- \sin^{2}{\left(b_{5} \right)} - \cos^{2}{\left(b_{5} \right)}}{\sin^{2}{\left(b_{5} \right)}}

    Entonces, como resultado: 3(sin2(b5)+cos2(b5))cos2(b5)tan2(b5)- \frac{3 \left(\sin^{2}{\left(b_{5} \right)} + \cos^{2}{\left(b_{5} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(b_{5} \right)} \tan^{2}{\left(b_{5} \right)}}

  2. Simplificamos:

    3sin2(b5)- \frac{3}{\sin^{2}{\left(b_{5} \right)}}


Respuesta:

3sin2(b5)- \frac{3}{\sin^{2}{\left(b_{5} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Primera derivada [src]
          2    
-3 - 3*cot (b5)
3cot2(b5)3- 3 \cot^{2}{\left(b_{5} \right)} - 3
Segunda derivada [src]
  /       2    \        
6*\1 + cot (b5)/*cot(b5)
6(cot2(b5)+1)cot(b5)6 \left(\cot^{2}{\left(b_{5} \right)} + 1\right) \cot{\left(b_{5} \right)}
Tercera derivada [src]
   /       2    \ /         2    \
-6*\1 + cot (b5)/*\1 + 3*cot (b5)/
6(cot2(b5)+1)(3cot2(b5)+1)- 6 \left(\cot^{2}{\left(b_{5} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(b_{5} \right)} + 1\right)
Gráfico
Derivada de y=3ctgb5