Sr Examen

Derivada de y=4sinx-5ctgx-1

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
4*sin(x) - 5*cot(x) - 1
(4sin(x)5cot(x))1\left(4 \sin{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}\right) - 1
4*sin(x) - 5*cot(x) - 1
Solución detallada
  1. diferenciamos (4sin(x)5cot(x))1\left(4 \sin{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)}\right) - 1 miembro por miembro:

    1. diferenciamos 4sin(x)5cot(x)4 \sin{\left(x \right)} - 5 \cot{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: 4cos(x)4 \cos{\left(x \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Entonces, como resultado: 5(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: 5(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)+4cos(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}

    2. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

    Como resultado de: 5(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)+4cos(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    cos(x)cos(3x)+5sin2(x)\frac{\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)} + 5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}


Respuesta:

cos(x)cos(3x)+5sin2(x)\frac{\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)} + 5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Primera derivada [src]
                    2   
5 + 4*cos(x) + 5*cot (x)
4cos(x)+5cot2(x)+54 \cos{\left(x \right)} + 5 \cot^{2}{\left(x \right)} + 5
Segunda derivada [src]
   /             /       2   \       \
-2*\2*sin(x) + 5*\1 + cot (x)/*cot(x)/
2(5(cot2(x)+1)cot(x)+2sin(x))- 2 \left(5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right)
Tercera derivada [src]
  /                           2                           \
  |              /       2   \          2    /       2   \|
2*\-2*cos(x) + 5*\1 + cot (x)/  + 10*cot (x)*\1 + cot (x)//
2(5(cot2(x)+1)2+10(cot2(x)+1)cot2(x)2cos(x))2 \left(5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)
Gráfico
Derivada de y=4sinx-5ctgx-1