Derivada de y=e^(3*x)/(1+e)^x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{3 x}$ y $g{\left(x \right)} = \left(1 + e\right)^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 e^{3 x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} \left(1 + e\right)^{x} = \left(1 + e\right)^{x} \log{\left(1 + e \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(1 + e\right)^{- 2 x} \left(- \left(1 + e\right)^{x} e^{3 x} \log{\left(1 + e \right)} + 3 \left(1 + e\right)^{x} e^{3 x}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(\frac{e^{3}}{1 + e}\right)^{x} \left(3 - \log{\left(1 + e \right)}\right)$

Respuesta:

$\left(\frac{e^{3}}{1 + e}\right)^{x} \left(3 - \log{\left(1 + e \right)}\right)$