Derivada de y=tg(x-4sinx)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 4 \sin{\left(x \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 4 \sin{\left(x \right)}\right)$:

      1. diferenciamos $x - 4 \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $- 4 \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $1 - 4 \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(1 - 4 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 4 \sin{\left(x \right)}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 4 \sin{\left(x \right)}\right)$:

      1. diferenciamos $x - 4 \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $- 4 \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $1 - 4 \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \left(1 - 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(1 - 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)} + \left(1 - 4 \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{1 - 4 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1 - 4 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 4 \sin{\left(x \right)} \right)}}$