Derivada de y=tg(sin4x)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 4 \sin{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)} \cos{\left(4 x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{4 \sin^{2}{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(4 x \right)} \right)}}$