Derivada de x*exp(-x)x^3*sinx

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4} \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x^{4} e^{x} \sin{\left(x \right)} + \left(x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $x^{3} \left(\sqrt{2} x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 4 \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$x^{3} \left(\sqrt{2} x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 4 \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}$