Derivada de y=-4x/(x^2+1)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - 4 x$ y $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 1\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-4$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x \left(2 x^{2} + 2\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{8 x^{2} \left(2 x^{2} + 2\right) - 4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 \left(3 x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(3 x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$