Derivada de y=e^(5x-4)*(sinx+x)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{5 x - 4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x - 4$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x - 4\right)$:

      1. diferenciamos $5 x - 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         2. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 e^{5 x - 4}$

   $g{\left(x \right)} = \left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + \sin{\left(x \right)}\right)$:

      1. diferenciamos $x + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $\cos{\left(x \right)} + 1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 x + 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)$

   Como resultado de: $5 \left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2} e^{5 x - 4} + \left(2 x + 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{5 x - 4}$

2. Simplificamos:

   $\left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(5 x + 5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right) e^{5 x - 4}$

Respuesta:

$\left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \left(5 x + 5 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 2\right) e^{5 x - 4}$