Derivada de -x*sin(2x)-sin(2x)+cos^2(x)

1. diferenciamos $\left(- x \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $- x \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Como resultado de: $- 2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 x \cos{\left(2 x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 x \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 2 x \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$- 2 x \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$