Derivada de y=(x^5+8x)sin2x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{5} + 8 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{5} + 8 x$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $8$

      Como resultado de: $5 x^{4} + 8$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $\left(5 x^{4} + 8\right) \sin{\left(2 x \right)} + 2 \left(x^{5} + 8 x\right) \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $2 x \left(x^{4} + 8\right) \cos{\left(2 x \right)} + \left(5 x^{4} + 8\right) \sin{\left(2 x \right)}$

Respuesta:

$2 x \left(x^{4} + 8\right) \cos{\left(2 x \right)} + \left(5 x^{4} + 8\right) \sin{\left(2 x \right)}$