Derivada de y=-4xsin(x^2+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = - 4 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-4$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x \cos{\left(x^{2} + 1 \right)}$

   Como resultado de: $- 8 x^{2} \cos{\left(x^{2} + 1 \right)} - 4 \sin{\left(x^{2} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 8 x^{2} \cos{\left(x^{2} + 1 \right)} - 4 \sin{\left(x^{2} + 1 \right)}$

Respuesta:

$- 8 x^{2} \cos{\left(x^{2} + 1 \right)} - 4 \sin{\left(x^{2} + 1 \right)}$