Derivada de -x(log2(x))-(1-x)log2(1-x)

Solución

Ha introducido [src]

   log(x)           log(1 - x)
-x*------ - (1 - x)*----------
   log(2)             log(2)

$$- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)$$

(-x)*(log(x)/log(2)) - (1 - x)*log(1 - x)/log(2)

Solución detallada

diferenciamos $- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
    Entonces, como resultado: $- \log{\left(x \right)} - 1$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada de una constante $\log{\left(2 \right)}$ es igual a cero.
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}$
2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = 1 - x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:
        
        La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
        
        La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $-1$
        
        Como resultado de: $-1$
      $g{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Sustituimos $u = 1 - x$ .
      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$ :
        
        diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:
        
        La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
        
        La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $-1$
        
        Como resultado de: $-1$
        
        Como resultado de la secuencia de reglas:
        
        $- \frac{1}{1 - x}$
      Como resultado de: $- \log{\left(1 - x \right)} - 1$
    Entonces, como resultado: $\frac{- \log{\left(1 - x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{- \log{\left(1 - x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}$
Como resultado de: $\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{- \log{\left(1 - x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

    1      log(1 - x)   log(x)       -1 + x    
- ------ + ---------- - ------ - --------------
  log(2)     log(2)     log(2)   (1 - x)*log(2)

$$- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{x - 1}{\left(1 - x\right) \log{\left(2 \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  1      1
------ - -
-1 + x   x
----------
  log(2)

$$\frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

1        1    
-- - ---------
 2           2
x    (-1 + x) 
--------------
    log(2)

$$\frac{- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de -x(log2(x))-(1-x)log2(1-x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución