Derivada de y=8-16sin^2(x/3)

1. diferenciamos $8 - 16 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{32 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   Como resultado de: $- \frac{32 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{16 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3}$

Respuesta:

$- \frac{16 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3}$