Derivada de y=((x^(1/7))-1^((1/7))*((x-3)^4))/((x+2)^9)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt[7]{x} - \left(x - 3\right)^{4}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{9}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sqrt[7]{x} - \left(x - 3\right)^{4}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[7]{x}$ tenemos $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = x - 3$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)$:

            1. diferenciamos $x - 3$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \left(x - 3\right)^{3}$

         Entonces, como resultado: $- 4 \left(x - 3\right)^{3}$

      Como resultado de: $- 4 \left(x - 3\right)^{3} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{9}$ tenemos $9 u^{8}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)$:

      1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $9 \left(x + 2\right)^{8}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 9 \left(\sqrt[7]{x} - \left(x - 3\right)^{4}\right) \left(x + 2\right)^{8} + \left(x + 2\right)^{9} \left(- 4 \left(x - 3\right)^{3} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}\right)}{\left(x + 2\right)^{18}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{63 x^{\frac{6}{7}} \left(- \sqrt[7]{x} + \left(x - 3\right)^{4}\right) + \left(x + 2\right) \left(- 28 x^{\frac{6}{7}} \left(x - 3\right)^{3} + 1\right)}{7 x^{\frac{6}{7}} \left(x + 2\right)^{10}}$

Respuesta:

$\frac{63 x^{\frac{6}{7}} \left(- \sqrt[7]{x} + \left(x - 3\right)^{4}\right) + \left(x + 2\right) \left(- 28 x^{\frac{6}{7}} \left(x - 3\right)^{3} + 1\right)}{7 x^{\frac{6}{7}} \left(x + 2\right)^{10}}$