Derivada de y=7lnx+9ctgx-6x^4+5x-3

1. diferenciamos $\left(5 x + \left(- 6 x^{4} + \left(7 \log{\left(x \right)} + 9 \cot{\left(x \right)}\right)\right)\right) - 3$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $5 x + \left(- 6 x^{4} + \left(7 \log{\left(x \right)} + 9 \cot{\left(x \right)}\right)\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $- 6 x^{4} + \left(7 \log{\left(x \right)} + 9 \cot{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $7 \log{\left(x \right)} + 9 \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

               Entonces, como resultado: $\frac{7}{x}$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

                  Method #1

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

                  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

                  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

                  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

                     1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                        $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

                     2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                        $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                        Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                        1. La derivada del seno es igual al coseno:

                           $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                        Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                           $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                        $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

                  Method #2

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

                  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                     $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                     $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

                     Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                     Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del seno es igual al coseno:

                        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                     Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                     $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

               Entonces, como resultado: $- \frac{9 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

            Como resultado de: $- \frac{9 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{7}{x}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

            Entonces, como resultado: $- 24 x^{3}$

         Como resultado de: $- 24 x^{3} - \frac{9 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{7}{x}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de: $- 24 x^{3} - \frac{9 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 5 + \frac{7}{x}$

   2. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

   Como resultado de: $- 24 x^{3} - \frac{9 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 5 + \frac{7}{x}$

2. Simplificamos:

   $- 24 x^{3} + 5 - \frac{9}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{7}{x}$

Respuesta:

$- 24 x^{3} + 5 - \frac{9}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{7}{x}$