Derivada de x*exp(sinx+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)} + 1$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $x e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\left(x \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\left(x \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$