Derivada de y=sin2xcos10x+cos2xsin10x

1. diferenciamos $\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(10 x \right)} + \sin{\left(10 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(10 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 10 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 10 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $10$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 10 \sin{\left(10 x \right)}$

      Como resultado de: $- 10 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(10 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(10 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 10 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 10 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $10$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $10 \cos{\left(10 x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(10 x \right)} + 10 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

   Como resultado de: $- 12 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(10 x \right)} + 12 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(10 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $12 \cos{\left(12 x \right)}$

Respuesta:

$12 \cos{\left(12 x \right)}$