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y=ctg((2x-5)/3)*(1/3logx)
Derivada de la función/ 3logx/ y=ctg/ y=ctg((2x-5)/3)*(1/3logx)

Derivada de y=ctg((2x-5)/3)*(1/3logx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /2*x - 5\ log(x)
cot|-------|*------
   \   3   /   3
log⁡(x)3cot⁡(2x−53)\frac{\log{\left(x \right)}}{3} \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} 
cot((2*x - 5)/3)*(log(x)/3)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=log⁡(x)cot⁡(2x−53)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} y g(x)=3g{\left(x \right)} = 3.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=cot⁡(2x−53)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(2x−53)=1tan⁡(2x−53)\cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(2x−53)u = \tan{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(2x−53)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(2x−53)=sin⁡(2x−53)cos⁡(2x−53)\tan{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(2x−53)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} y g(x)=cos⁡(2x−53)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x−53u = \frac{2 x - 5}{3}.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x−53\frac{d}{d x} \frac{2 x - 5}{3}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. diferenciamos 2x−52 x - 5 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante −5-5 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Entonces, como resultado: 23\frac{2}{3}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              2cos⁡(2x−53)3\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=2x−53u = \frac{2 x - 5}{3}.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x−53\frac{d}{d x} \frac{2 x - 5}{3}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. diferenciamos 2x−52 x - 5 miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                    Entonces, como resultado: 22

                  2. La derivada de una constante −5-5 es igual a cero.

                  Como resultado de: 22

                Entonces, como resultado: 23\frac{2}{3}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −2sin⁡(2x−53)3- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            2sin⁡2(2x−53)3+2cos⁡2(2x−53)3cos⁡2(2x−53)\frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡2(2x−53)3+2cos⁡2(2x−53)3cos⁡2(2x−53)tan⁡2(2x−53)- \frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(2x−53)=cos⁡(2x−53)sin⁡(2x−53)\cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{\sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(2x−53)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} y g(x)=sin⁡(2x−53)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2x−53u = \frac{2 x - 5}{3}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x−53\frac{d}{d x} \frac{2 x - 5}{3}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. diferenciamos 2x−52 x - 5 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante −5-5 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Entonces, como resultado: 23\frac{2}{3}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x−53)3- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2x−53u = \frac{2 x - 5}{3}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x−53\frac{d}{d x} \frac{2 x - 5}{3}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. diferenciamos 2x−52 x - 5 miembro por miembro:

                1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: 22

                2. La derivada de una constante −5-5 es igual a cero.

                Como resultado de: 22

              Entonces, como resultado: 23\frac{2}{3}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2cos⁡(2x−53)3\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −2sin⁡2(2x−53)3−2cos⁡2(2x−53)3sin⁡2(2x−53)\frac{- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} - \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}

      g(x)=log⁡(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de: −(2sin⁡2(2x−53)3+2cos⁡2(2x−53)3)log⁡(x)cos⁡2(2x−53)tan⁡2(2x−53)+cot⁡(2x−53)x- \frac{\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}\right) \log{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}} + \frac{\cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{x}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. La derivada de una constante 33 es igual a cero.

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −(2sin⁡2(2x−53)3+2cos⁡2(2x−53)3)log⁡(x)3cos⁡2(2x−53)tan⁡2(2x−53)+cot⁡(2x−53)3x- \frac{\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3}\right) \log{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}} + \frac{\cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3 x}

  2. Simplificamos:

    −4xlog⁡(x)9+sin⁡(4x3−103)3x(1−cos⁡(4x3−103))\frac{- \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(\frac{4 x}{3} - \frac{10}{3} \right)}}{3}}{x \left(1 - \cos{\left(\frac{4 x}{3} - \frac{10}{3} \right)}\right)}

Respuesta:

−4xlog⁡(x)9+sin⁡(4x3−103)3x(1−cos⁡(4x3−103))\frac{- \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(\frac{4 x}{3} - \frac{10}{3} \right)}}{3}}{x \left(1 - \cos{\left(\frac{4 x}{3} - \frac{10}{3} \right)}\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
               /           2/2*x - 5\\       
               |      2*cot |-------||       
   /2*x - 5\   |  2         \   3   /|       
cot|-------|   |- - - ---------------|*log(x)
   \   3   /   \  3          3       /       
------------ + ------------------------------
    3*x                      3
(−2cot⁡2(2x−53)3−23)log⁡(x)3+cot⁡(2x−53)3x\frac{\left(- \frac{2 \cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}\right) \log{\left(x \right)}}{3} + \frac{\cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{3 x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
     /       2/-5 + 2*x\\        /-5 + 2*x\                                              
  12*|1 + cot |--------||   9*cot|--------|                                              
     \        \   3    //        \   3    /     /       2/-5 + 2*x\\    /-5 + 2*x\       
- ----------------------- - --------------- + 8*|1 + cot |--------||*cot|--------|*log(x)
             x                      2           \        \   3    //    \   3    /       
                                   x                                                     
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                            27
8(cot⁡2(2x−53)+1)log⁡(x)cot⁡(2x−53)−12(cot⁡2(2x−53)+1)x−9cot⁡(2x−53)x227\frac{8 \left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} - \frac{12 \left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right)}{x} - \frac{9 \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{x^{2}}}{27}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /      /-5 + 2*x\      /       2/-5 + 2*x\\                                                             /       2/-5 + 2*x\\    /-5 + 2*x\\
  |27*cot|--------|   27*|1 + cot |--------||                                                          36*|1 + cot |--------||*cot|--------||
  |      \   3    /      \        \   3    //     /       2/-5 + 2*x\\ /         2/-5 + 2*x\\             \        \   3    //    \   3    /|
2*|---------------- + ----------------------- - 8*|1 + cot |--------||*|1 + 3*cot |--------||*log(x) + -------------------------------------|
  |        3                      2               \        \   3    // \          \   3    //                            x                  |
  \       x                      x                                                                                                          /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                      81
2(−8(cot⁡2(2x−53)+1)(3cot⁡2(2x−53)+1)log⁡(x)+36(cot⁡2(2x−53)+1)cot⁡(2x−53)x+27(cot⁡2(2x−53)+1)x2+27cot⁡(2x−53)x3)81\frac{2 \left(- 8 \left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} + \frac{36 \left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{x} + \frac{27 \left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{27 \cot{\left(\frac{2 x - 5}{3} \right)}}{x^{3}}\right)}{81}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg((2x-5)/3)*(1/3logx)
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