Derivada de x/(x^2+25)^(3/2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 25\right)^{\frac{3}{2}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 25$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{\frac{3}{2}}$ tenemos $\frac{3 \sqrt{u}}{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 25\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 25$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $25$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 x \sqrt{x^{2} + 25}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 25} + \left(x^{2} + 25\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} + 25\right)^{3}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{25 - 2 x^{2}}{\left(x^{2} + 25\right)^{\frac{5}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{25 - 2 x^{2}}{\left(x^{2} + 25\right)^{\frac{5}{2}}}$