Derivada de x*log(x+1)-1

1. diferenciamos $x \log{\left(x + 1 \right)} - 1$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x + 1}$

      Como resultado de: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1}$