Derivada de y=(e^(3x))/3sin(x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{3 x} \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{3 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 e^{3 x}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $3 e^{3 x} \sin{\left(x \right)} + e^{3 x} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $e^{3 x} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{3 x} \cos{\left(x \right)}}{3}$

2. Simplificamos:

   $\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\right) e^{3 x}$

Respuesta:

$\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\right) e^{3 x}$