Derivada de y=(ctg(x/3))^2

1. Sustituimos $u = \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

   1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right) \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

4. Simplificamos:

   $- \frac{2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3 \sin^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3 \sin^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$