Sr Examen

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y=√(x^3/(2-x))
Derivada de la función/ (2-x)/ y=√(x^3/(2-x))

Derivada de y=√(x^3/(2-x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     _______
    /    3  
   /    x   
  /   ----- 
\/    2 - x
x32−x\sqrt{\frac{x^{3}}{2 - x}} 
sqrt(x^3/(2 - x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=x32−xu = \frac{x^{3}}{2 - x}.

  2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx32−x\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{2 - x}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=x3f{\left(x \right)} = x^{3} y g(x)=2−xg{\left(x \right)} = 2 - x.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 2−x2 - x miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: −1-1

        Como resultado de: −1-1

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      x3+3x2(2−x)(2−x)2\frac{x^{3} + 3 x^{2} \left(2 - x\right)}{\left(2 - x\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    x3+3x2(2−x)2x32−x(2−x)2\frac{x^{3} + 3 x^{2} \left(2 - x\right)}{2 \sqrt{\frac{x^{3}}{2 - x}} \left(2 - x\right)^{2}}

  4. Simplificamos:

    x2(3−x)−x3x−2(x−2)2\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\sqrt{- \frac{x^{3}}{x - 2}} \left(x - 2\right)^{2}}

Respuesta:

x2(3−x)−x3x−2(x−2)2\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\sqrt{- \frac{x^{3}}{x - 2}} \left(x - 2\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100100
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     _______                                 
    /    3           /     3             2  \
   /    x            |    x           3*x   |
  /   ----- *(2 - x)*|---------- + ---------|
\/    2 - x          |         2   2*(2 - x)|
                     \2*(2 - x)             /
---------------------------------------------
                       3                     
                      x
x32−x(2−x)(x32(2−x)2+3x22(2−x))x3\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{2 - x}} \left(2 - x\right) \left(\frac{x^{3}}{2 \left(2 - x\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(2 - x\right)}\right)}{x^{3}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
              /         2                                                             \
              |        x        3*x                                2                  |
     ________ |3 + --------- - ------          x      /       x   \      /       x   \|
    /    3    |            2   -2 + x   -3 + ------   |-3 + ------|    3*|-3 + ------||
   /   -x     |    (-2 + x)                  -2 + x   \     -2 + x/      \     -2 + x/|
  /   ------ *|---------------------- - ----------- + -------------- + ---------------|
\/    -2 + x  \          x               2*(-2 + x)        4*x               2*x      /
---------------------------------------------------------------------------------------
                                           x
−x3x−2(−xx−2−32(x−2)+(xx−2−3)24x+3(xx−2−3)2x+x2(x−2)2−3xx−2+3x)x\frac{\sqrt{- \frac{x^{3}}{x - 2}} \left(- \frac{\frac{x}{x - 2} - 3}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{\left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)^{2}}{4 x} + \frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)}{2 x} + \frac{\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 2} + 3}{x}\right)}{x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
              /                      /         2            \     /          3            2           \     /         2            \                                                                                            /         2            \\
              |                      |        x        3*x  |     |         x          3*x       3*x  |     |        x        3*x  |                                    2                3                  2     /       x   \ |        x        3*x  ||
     ________ |    /       x   \   6*|3 + --------- - ------|   3*|-1 + --------- - --------- + ------|   2*|3 + --------- - ------|     /       x   \     /       x   \    /       x   \      /       x   \    3*|-3 + ------|*|3 + --------- - ------||
    /    3    |  6*|-3 + ------|     |            2   -2 + x|     |             3           2   -2 + x|     |            2   -2 + x|   3*|-3 + ------|   9*|-3 + ------|    |-3 + ------|    3*|-3 + ------|      \     -2 + x/ |            2   -2 + x||
   /   -x     |    \     -2 + x/     \    (-2 + x)          /     \     (-2 + x)    (-2 + x)          /     \    (-2 + x)          /     \     -2 + x/     \     -2 + x/    \     -2 + x/      \     -2 + x/                    \    (-2 + x)          /|
  /   ------ *|- --------------- - -------------------------- - --------------------------------------- + -------------------------- + --------------- - ---------------- - -------------- + ---------------- - ----------------------------------------|
\/    -2 + x  \         x                      x                                   x                                -2 + x                  -2 + x             4*x               8*x            4*(-2 + x)                        2*x                   /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                             2                                                                                                                           
                                                                                                                            x
−x3x−2(3(xx−2−3)24(x−2)+3(xx−2−3)x−2+2(x2(x−2)2−3xx−2+3)x−2−(xx−2−3)38x−9(xx−2−3)24x−3(xx−2−3)(x2(x−2)2−3xx−2+3)2x−6(xx−2−3)x−6(x2(x−2)2−3xx−2+3)x−3(x3(x−2)3−3x2(x−2)2+3xx−2−1)x)x2\frac{\sqrt{- \frac{x^{3}}{x - 2}} \left(\frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)^{2}}{4 \left(x - 2\right)} + \frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)}{x - 2} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 2} + 3\right)}{x - 2} - \frac{\left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)^{3}}{8 x} - \frac{9 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)^{2}}{4 x} - \frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 2} + 3\right)}{2 x} - \frac{6 \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right)}{x} - \frac{6 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 2} + 3\right)}{x} - \frac{3 \left(\frac{x^{3}}{\left(x - 2\right)^{3}} - \frac{3 x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{3 x}{x - 2} - 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=√(x^3/(2-x))
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