Derivada de x*exp(-5x)*(-3x^2+x-4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(- 3 x^{2} + x - 4\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + x - 4$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $- 3 x^{2} + x - 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- 6 x$

         Como resultado de: $1 - 6 x$

      Como resultado de: $- 3 x^{2} + x \left(1 - 6 x\right) + x - 4$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 e^{5 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 5 x \left(- 3 x^{2} + x - 4\right) e^{5 x} + \left(- 3 x^{2} + x \left(1 - 6 x\right) + x - 4\right) e^{5 x}\right) e^{- 10 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(15 x^{3} - 14 x^{2} + 22 x - 4\right) e^{- 5 x}$

Respuesta:

$\left(15 x^{3} - 14 x^{2} + 22 x - 4\right) e^{- 5 x}$