Derivada de y=(x+1)^5sqrtx^2+2x+1

1. diferenciamos $\left(\left(x + 1\right)^{5} \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 2 x\right) + 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(x + 1\right)^{5} \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 2 x$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{5}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5 \left(x + 1\right)^{4}$

         $g{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x}\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $1$

         Como resultado de: $5 x \left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{5}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $5 x \left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{5} + 2$

   2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $5 x \left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{5} + 2$

2. Simplificamos:

   $5 x \left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{5} + 2$

Respuesta:

$5 x \left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{5} + 2$