Derivada de x+tg(pi/4-x/2)

1. diferenciamos $x + \tan{\left(- \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(- \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}$

   3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. diferenciamos $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               2. La derivada de una constante $- \frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

               Como resultado de: $\frac{1}{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. diferenciamos $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               2. La derivada de una constante $- \frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

               Como resultado de: $\frac{1}{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}} + 1$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$