Derivada de x*(e^x-1)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \left(e^{x} - 1\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)$:

      1. diferenciamos $e^{x} - 1$ miembro por miembro:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 e^{x} - 2\right) e^{x}$

   Como resultado de: $x \left(2 e^{x} - 2\right) e^{x} + \left(e^{x} - 1\right)^{2}$

2. Simplificamos:

   $\left(e^{x} - 1\right) \left(2 x e^{x} + e^{x} - 1\right)$

Respuesta:

$\left(e^{x} - 1\right) \left(2 x e^{x} + e^{x} - 1\right)$