Derivada de y=logx×cosec3x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

   $g{\left(x \right)} = \csc{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\csc{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(3 x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{3 \log{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 3 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}}{x \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- 3 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}}{x \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$