Derivada de (x*x+4*x+1)*sin(x)+2*(x+2)*cos(x)

1. diferenciamos $2 \left(x + 2\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\left(x x + 4 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \left(x x + 4 x\right) + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\left(x x + 4 x\right) + 1$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $x x + 4 x$ miembro por miembro:

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

               $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

               $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $2 x$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de: $2 x + 4$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2 x + 4$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $\left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\left(x x + 4 x\right) + 1\right) \cos{\left(x \right)}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 2 \left(x + 2\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- 2 \left(x + 2\right) \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 \left(x + 2\right) \sin{\left(x \right)} + \left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\left(x x + 4 x\right) + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(x^{2} + 4 x + 3\right) \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(x^{2} + 4 x + 3\right) \cos{\left(x \right)}$