Derivada de x*log10(x-2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x - 2 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(10 \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x - 2 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x - 2$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)$:

         1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x - 2}$

      Como resultado de: $\frac{x}{x - 2} + \log{\left(x - 2 \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\log{\left(10 \right)}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{x}{x - 2} + \log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(10 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \log{\left(10 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x + \left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \log{\left(10 \right)}}$