Derivada de y=((x^2-4x-7)^2)÷((x-5)^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 4 x - 7\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x - 5\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} - 4 x - 7$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4 x - 7\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} - 4 x - 7$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-7$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-4$

         Como resultado de: $2 x - 4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 x - 4\right) \left(2 x^{2} - 8 x - 14\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)$:

      1. diferenciamos $x - 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x - 10$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(2 x - 4\right) \left(2 x^{2} - 8 x - 14\right) - \left(2 x - 10\right) \left(x^{2} - 4 x - 7\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(x^{4} - 14 x^{3} + 60 x^{2} - 38 x - 189\right)}{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{4} - 14 x^{3} + 60 x^{2} - 38 x - 189\right)}{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}$