Derivada de (x+1)²/(x²+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x + 2$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Como resultado de: $2 x$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 x \left(x + 1\right)^{2} + \left(2 x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 - 2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 - 2 x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$