Derivada de √(x∙∜x)/∛(x^5)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{\frac{5}{4}}}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{5}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{\frac{5}{4}}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{\frac{5}{4}}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{\frac{5}{4}}$ tenemos $\frac{5 \sqrt[4]{x}}{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 \sqrt[4]{x}}{8 \sqrt{x^{\frac{5}{4}}}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{5}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{5}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 x^{4}}{3 \left(x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{5 \sqrt[4]{x} \sqrt[3]{x^{5}}}{8 \sqrt{x^{\frac{5}{4}}}} - \frac{5 x^{4} \sqrt{x^{\frac{5}{4}}}}{3 \left(x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}}{\left(x^{5}\right)^{\frac{2}{3}}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{25 x^{\frac{21}{4}}}{24 \sqrt{x^{\frac{5}{4}}} \left(x^{5}\right)^{\frac{4}{3}}}$

Respuesta:

$- \frac{25 x^{\frac{21}{4}}}{24 \sqrt{x^{\frac{5}{4}}} \left(x^{5}\right)^{\frac{4}{3}}}$