Sr Examen

Derivada de y=5ctgx+8^x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            x
5*cot(x) + 8 
8x+5cot(x)8^{x} + 5 \cot{\left(x \right)}
5*cot(x) + 8^x
Solución detallada
  1. diferenciamos 8x+5cot(x)8^{x} + 5 \cot{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: 5(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)- \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    2. ddx8x=8xlog(8)\frac{d}{d x} 8^{x} = 8^{x} \log{\left(8 \right)}

    Como resultado de: 8xlog(8)5(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)8^{x} \log{\left(8 \right)} - \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    38xlog(2)5sin2(x)3 \cdot 8^{x} \log{\left(2 \right)} - \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}


Respuesta:

38xlog(2)5sin2(x)3 \cdot 8^{x} \log{\left(2 \right)} - \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-25000000002500000000
Primera derivada [src]
          2       x       
-5 - 5*cot (x) + 8 *log(8)
8xlog(8)5cot2(x)58^{x} \log{\left(8 \right)} - 5 \cot^{2}{\left(x \right)} - 5
Segunda derivada [src]
 x    2         /       2   \       
8 *log (8) + 10*\1 + cot (x)/*cot(x)
8xlog(8)2+10(cot2(x)+1)cot(x)8^{x} \log{\left(8 \right)}^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}
Tercera derivada [src]
                  2                                        
     /       2   \     x    3            2    /       2   \
- 10*\1 + cot (x)/  + 8 *log (8) - 20*cot (x)*\1 + cot (x)/
8xlog(8)310(cot2(x)+1)220(cot2(x)+1)cot2(x)8^{x} \log{\left(8 \right)}^{3} - 10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 20 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}
Gráfico
Derivada de y=5ctgx+8^x