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y=(x^1/2)×ctgx
Derivada de la función/ x^1/2/ y=(x^1/2)×ctgx

Derivada de y=(x^1/2)×ctgx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  ___       
\/ x *cot(x)
xcot⁡(x)\sqrt{x} \cot{\left(x \right)} 
sqrt(x)*cot(x)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = \sqrt{x}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

    g(x)=cot⁡(x)g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)+cot⁡(x)2x- \frac{\sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}

  2. Simplificamos:

    −xsin⁡2(x)+12tan⁡(x)x\frac{- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \tan{\left(x \right)}}}{\sqrt{x}}

Respuesta:

−xsin⁡2(x)+12tan⁡(x)x\frac{- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \tan{\left(x \right)}}}{\sqrt{x}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
  ___ /        2   \    cot(x)
\/ x *\-1 - cot (x)/ + -------
                           ___
                       2*\/ x
x(−cot⁡2(x)−1)+cot⁡(x)2x\sqrt{x} \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + \frac{\cot{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
         2                                           
  1 + cot (x)   cot(x)       ___ /       2   \       
- ----------- - ------ + 2*\/ x *\1 + cot (x)/*cot(x)
       ___         3/2                               
     \/ x       4*x
2x(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−cot⁡2(x)+1x−cot⁡(x)4x322 \sqrt{x} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{\cot{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       2   \                                                        /       2   \       
3*\1 + cot (x)/   3*cot(x)       ___ /       2   \ /         2   \   3*\1 + cot (x)/*cot(x)
--------------- + -------- - 2*\/ x *\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + ----------------------
        3/2           5/2                                                      ___         
     4*x           8*x                                                       \/ x
−2x(cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)+3(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)x+3(cot⁡2(x)+1)4x32+3cot⁡(x)8x52- 2 \sqrt{x} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cot{\left(x \right)}}{8 x^{\frac{5}{2}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(x^1/2)×ctgx
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