Derivada de y=tgx+5cosx+x^2

1. diferenciamos $x^{2} + \left(5 \cos{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $5 \cos{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 5 \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 5 \sin{\left(x \right)}$

   2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   Como resultado de: $2 x + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 5 \sin{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin^{3}{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin^{3}{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$