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Derivada de la función/ -x*log2(x)-(1-x-p)*log2(1-x-p)

Derivada de -x*log2(x)-(1-x-p)*log2(1-x-p)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   log(x)               log(1 - x - p)
-x*------ - (1 - x - p)*--------------
   log(2)                   log(2)
−xlog⁡(x)log⁡(2)−log⁡(−p+(1−x))log⁡(2)(−p+(1−x))- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(- p + \left(1 - x\right)\right) 
(-x)*(log(x)/log(2)) - (1 - x - p)*log(1 - x - p)/log(2)
Solución detallada

  1. diferenciamos −xlog⁡(x)log⁡(2)−log⁡(−p+(1−x))log⁡(2)(−p+(1−x))- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(- p + \left(1 - x\right)\right) miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=−xlog⁡(x)f{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)} y g(x)=log⁡(2)g{\left(x \right)} = \log{\left(2 \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=log⁡(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

          Como resultado de: log⁡(x)+1\log{\left(x \right)} + 1

        Entonces, como resultado: −log⁡(x)−1- \log{\left(x \right)} - 1

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada de una constante log⁡(2)\log{\left(2 \right)} es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −log⁡(x)−1log⁡(2)\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=−p+(1−x)f{\left(x \right)} = - p + \left(1 - x\right); calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. diferenciamos −p+(1−x)- p + \left(1 - x\right) miembro por miembro:

            1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

              1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

              2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: −1-1

              Como resultado de: −1-1

            2. La derivada de una constante −p- p es igual a cero.

            Como resultado de: −1-1

          g(x)=log⁡(−p+(1−x))g{\left(x \right)} = \log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=−p+(1−x)u = - p + \left(1 - x\right).

          2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(−p+(1−x))\frac{\partial}{\partial x} \left(- p + \left(1 - x\right)\right):

            1. diferenciamos −p+(1−x)- p + \left(1 - x\right) miembro por miembro:

              1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

                1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

                2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                  Entonces, como resultado: −1-1

                Como resultado de: −1-1

              2. La derivada de una constante −p- p es igual a cero.

              Como resultado de: −1-1

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −1−p+(1−x)- \frac{1}{- p + \left(1 - x\right)}

          Como resultado de: −log⁡(−p+(1−x))−1- \log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)} - 1

        Entonces, como resultado: −log⁡(−p+(1−x))−1log⁡(2)\frac{- \log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}

      Entonces, como resultado: −−log⁡(−p+(1−x))−1log⁡(2)- \frac{- \log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}

    Como resultado de: −log⁡(x)−1log⁡(2)−−log⁡(−p+(1−x))−1log⁡(2)\frac{- \log{\left(x \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{- \log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)} - 1}{\log{\left(2 \right)}}

  2. Simplificamos:

    −log⁡(x)+log⁡(−p−x+1)log⁡(2)\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(- p - x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

Respuesta:

−log⁡(x)+log⁡(−p−x+1)log⁡(2)\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(- p - x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

Primera derivada [src] 
    1      log(1 - x - p)   log(x)       p + -1 + x    
- ------ + -------------- - ------ - ------------------
  log(2)       log(2)       log(2)   (1 - x - p)*log(2)
−log⁡(x)log⁡(2)+log⁡(−p+(1−x))log⁡(2)−1log⁡(2)−p+(x−1)(−p+(1−x))log⁡(2)- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(- p + \left(1 - x\right) \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{p + \left(x - 1\right)}{\left(- p + \left(1 - x\right)\right) \log{\left(2 \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
    1        1
---------- - -
-1 + p + x   x
--------------
    log(2)
1p+x−1−1xlog⁡(2)\frac{\frac{1}{p + x - 1} - \frac{1}{x}}{\log{\left(2 \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
1          1      
-- - -------------
 2               2
x    (-1 + p + x) 
------------------
      log(2)
−1(p+x−1)2+1x2log⁡(2)\frac{- \frac{1}{\left(p + x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 \right)}}
Simplificar
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