Derivada de y=x((2x+3)/(3x-1))^8

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(2 x + 3\right)^{8}$ y $g{\left(x \right)} = \left(3 x - 1\right)^{8}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(2 x + 3\right)^{8}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x + 3$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{8}$ tenemos $8 u^{7}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 3\right)$:

         1. diferenciamos $2 x + 3$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $16 \left(2 x + 3\right)^{7}$

      Como resultado de: $16 x \left(2 x + 3\right)^{7} + \left(2 x + 3\right)^{8}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{8}$ tenemos $8 u^{7}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x - 1\right)$:

      1. diferenciamos $3 x - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $24 \left(3 x - 1\right)^{7}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 24 x \left(2 x + 3\right)^{8} \left(3 x - 1\right)^{7} + \left(3 x - 1\right)^{8} \left(16 x \left(2 x + 3\right)^{7} + \left(2 x + 3\right)^{8}\right)}{\left(3 x - 1\right)^{16}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \left(2 x + 3\right)^{7} \left(- 8 x \left(2 x + 3\right) + \left(3 x - 1\right) \left(6 x + 1\right)\right)}{\left(3 x - 1\right)^{9}}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(2 x + 3\right)^{7} \left(- 8 x \left(2 x + 3\right) + \left(3 x - 1\right) \left(6 x + 1\right)\right)}{\left(3 x - 1\right)^{9}}$