Sr Examen

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(((y^2)+1)/(√y))^4

Derivada de (((y^2)+1)/(√y))^4

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        4
/ 2    \ 
|y  + 1| 
|------| 
|  ___ | 
\\/ y  / 
(y2+1y)4\left(\frac{y^{2} + 1}{\sqrt{y}}\right)^{4}
((y^2 + 1)/sqrt(y))^4
Solución detallada
  1. Sustituimos u=y2+1yu = \frac{y^{2} + 1}{\sqrt{y}}.

  2. Según el principio, aplicamos: u4u^{4} tenemos 4u34 u^{3}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddyy2+1y\frac{d}{d y} \frac{y^{2} + 1}{\sqrt{y}}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddyf(y)g(y)=f(y)ddyg(y)+g(y)ddyf(y)g2(y)\frac{d}{d y} \frac{f{\left(y \right)}}{g{\left(y \right)}} = \frac{- f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}}{g^{2}{\left(y \right)}}

      f(y)=y2+1f{\left(y \right)} = y^{2} + 1 y g(y)=yg{\left(y \right)} = \sqrt{y}.

      Para calcular ddyf(y)\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}:

      1. diferenciamos y2+1y^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: y2y^{2} tenemos 2y2 y

        Como resultado de: 2y2 y

      Para calcular ddyg(y)\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: y\sqrt{y} tenemos 12y\frac{1}{2 \sqrt{y}}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2y32y2+12yy\frac{2 y^{\frac{3}{2}} - \frac{y^{2} + 1}{2 \sqrt{y}}}{y}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    4(2y32y2+12y)(y2+1)3y52\frac{4 \left(2 y^{\frac{3}{2}} - \frac{y^{2} + 1}{2 \sqrt{y}}\right) \left(y^{2} + 1\right)^{3}}{y^{\frac{5}{2}}}

  4. Simplificamos:

    (y2+1)3(6y22)y3\frac{\left(y^{2} + 1\right)^{3} \left(6 y^{2} - 2\right)}{y^{3}}


Respuesta:

(y2+1)3(6y22)y3\frac{\left(y^{2} + 1\right)^{3} \left(6 y^{2} - 2\right)}{y^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
Primera derivada [src]
              4                       
      / 2    \  /    / 2    \        \
  ___ \y  + 1/  |  2*\y  + 1/    8*y |
\/ y *---------*|- ---------- + -----|
           2    |      3/2        ___|
          y     \     y         \/ y /
--------------------------------------
                 2                    
                y  + 1                
y(y2+1)4y2(8yy2(y2+1)y32)y2+1\frac{\sqrt{y} \frac{\left(y^{2} + 1\right)^{4}}{y^{2}} \left(\frac{8 y}{\sqrt{y}} - \frac{2 \left(y^{2} + 1\right)}{y^{\frac{3}{2}}}\right)}{y^{2} + 1}
Segunda derivada [src]
          /    /               2\                          /               2\     /         2\ /               2\\
          |    |    ___   1 + y |                 /     2\ |    ___   1 + y |     |    1 + y | |    ___   1 + y ||
          |  4*|4*\/ y  - ------|             2   \1 + y /*|4*\/ y  - ------|   4*|4 - ------|*|4*\/ y  - ------||
        2 |    |            3/2 |     /     2\             |            3/2 |     |       2  | |            3/2 ||
/     2\  |    \           y    /   3*\1 + y /             \           y    /     \      y   / \           y    /|
\1 + y / *|- -------------------- + ----------- + --------------------------- + ---------------------------------|
          |           ___                 4                    5/2                              ___              |
          \         \/ y                 y                    y                               \/ y               /
(y2+1)2(3(y2+1)2y4+4(4y2+1y2)(4yy2+1y32)y4(4yy2+1y32)y+(4yy2+1y32)(y2+1)y52)\left(y^{2} + 1\right)^{2} \left(\frac{3 \left(y^{2} + 1\right)^{2}}{y^{4}} + \frac{4 \left(4 - \frac{y^{2} + 1}{y^{2}}\right) \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{y}} - \frac{4 \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{y}} + \frac{\left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) \left(y^{2} + 1\right)}{y^{\frac{5}{2}}}\right)
Tercera derivada [src]
         /                                                                                                                   2 /               2\              2 /         2\               /               2\                                                                         /         2\ /               2\\
         |                                                                                                           /     2\  |    ___   1 + y |      /     2\  |    1 + y |      /     2\ |    ___   1 + y |                                                                /     2\ |    1 + y | |    ___   1 + y ||
         |                                           3              2                                              5*\1 + y / *|4*\/ y  - ------|   12*\1 + y / *|4 - ------|   16*\1 + y /*|4*\/ y  - ------|                               /            2             \   4*\1 + y /*|4 - ------|*|4*\/ y  - ------||
/     2\ |           /               2\      /     2\       /     2\             /         2\ /               2\               |            3/2 |                |       2  |               |            3/2 |            /               2\ |    /     2\      /     2\|              |       2  | |            3/2 ||
|1   y | |       ___ |    ___   1 + y |   21*\1 + y /    36*\1 + y /         ___ |    1 + y | |    ___   1 + y |               \           y    /                \      y   /               \           y    /        ___ |    ___   1 + y | |    \1 + y /    4*\1 + y /|              \      y   / \           y    /|
|- + --|*|- 32*\/ y *|4*\/ y  - ------| - ------------ + ------------ - 16*\/ y *|4 - ------|*|4*\/ y  - ------| - ------------------------------ + ------------------------- + ------------------------------ + 24*\/ y *|4*\/ y  - ------|*|8 + --------- - ----------| + ------------------------------------------|
\2   2 / |           |            3/2 |         5              3                 |       2  | |            3/2 |                 7/2                             3                            3/2                         |            3/2 | |         4           2    |                       3/2                   |
         \           \           y    /        y              y                  \      y   / \           y    /                y                               y                            y                            \           y    / \        y           y     /                      y                      /
(y22+12)(16y(4y2+1y2)(4yy2+1y32)+24y(4yy2+1y32)(84(y2+1)y2+(y2+1)2y4)32y(4yy2+1y32)+12(4y2+1y2)(y2+1)2y3+36(y2+1)2y321(y2+1)3y5+4(4y2+1y2)(4yy2+1y32)(y2+1)y32+16(4yy2+1y32)(y2+1)y325(4yy2+1y32)(y2+1)2y72)\left(\frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2}\right) \left(- 16 \sqrt{y} \left(4 - \frac{y^{2} + 1}{y^{2}}\right) \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) + 24 \sqrt{y} \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) \left(8 - \frac{4 \left(y^{2} + 1\right)}{y^{2}} + \frac{\left(y^{2} + 1\right)^{2}}{y^{4}}\right) - 32 \sqrt{y} \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{12 \left(4 - \frac{y^{2} + 1}{y^{2}}\right) \left(y^{2} + 1\right)^{2}}{y^{3}} + \frac{36 \left(y^{2} + 1\right)^{2}}{y^{3}} - \frac{21 \left(y^{2} + 1\right)^{3}}{y^{5}} + \frac{4 \left(4 - \frac{y^{2} + 1}{y^{2}}\right) \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) \left(y^{2} + 1\right)}{y^{\frac{3}{2}}} + \frac{16 \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) \left(y^{2} + 1\right)}{y^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 \left(4 \sqrt{y} - \frac{y^{2} + 1}{y^{\frac{3}{2}}}\right) \left(y^{2} + 1\right)^{2}}{y^{\frac{7}{2}}}\right)
Gráfico
Derivada de (((y^2)+1)/(√y))^4