Derivada de y=x^3/(3-2x^3)^1/3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{3 - 2 x^{3}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 - 2 x^{3}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 - 2 x^{3}\right)$:

      1. diferenciamos $3 - 2 x^{3}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $- 6 x^{2}$

         Como resultado de: $- 6 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{2 x^{2}}{\left(3 - 2 x^{3}\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{2 x^{5}}{\left(3 - 2 x^{3}\right)^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} \sqrt[3]{3 - 2 x^{3}}}{\left(3 - 2 x^{3}\right)^{\frac{2}{3}}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} \left(9 - 4 x^{3}\right)}{\left(3 - 2 x^{3}\right)^{\frac{4}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(9 - 4 x^{3}\right)}{\left(3 - 2 x^{3}\right)^{\frac{4}{3}}}$