Derivada de y=(3/x-4)(3x+6)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(3 - 4 x\right) \left(3 x + 6\right)$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 3 - 4 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $3 - 4 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-4$

         Como resultado de: $-4$

      $g{\left(x \right)} = 3 x + 6$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $3 x + 6$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $6$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de: $- 24 x - 15$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x \left(- 24 x - 15\right) - \left(3 - 4 x\right) \left(3 x + 6\right)}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $-12 - \frac{18}{x^{2}}$

Respuesta:

$-12 - \frac{18}{x^{2}}$