Derivada de y=log3tg(x/x-5)

1. Sustituimos $u = 3 \tan{\left(-5 + \frac{x}{x} \right)}$.

2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 \tan{\left(-5 + \frac{x}{x} \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(-5 + \frac{x}{x} \right)} = - \frac{\sin{\left(5 - \frac{x}{x} \right)}}{\cos{\left(5 - \frac{x}{x} \right)}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 - \frac{x}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 - \frac{x}{x} \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 5 - \frac{x}{x}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 - \frac{x}{x}\right)$:

               1. diferenciamos $5 - \frac{x}{x}$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                        $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x$.

                        Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                        $0$

                     Entonces, como resultado: $0$

                  Como resultado de: $0$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $0$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 5 - \frac{x}{x}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 - \frac{x}{x}\right)$:

               1. diferenciamos $5 - \frac{x}{x}$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                        $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                        $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x$.

                        Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                        $0$

                     Entonces, como resultado: $0$

                  Como resultado de: $0$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $0$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $0$

         Entonces, como resultado: $0$

      Entonces, como resultado: $0$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $0$

Respuesta:

$0$