Derivada de y=√(x-4)^5+5/(2x^2+4x-1)^2

1. diferenciamos $\left(\sqrt{x - 4}\right)^{5} + \frac{5}{\left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{2}}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x - 4}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x - 4}$:

      1. Sustituimos $u = x - 4$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)$:

         1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x - 4}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}{2}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{2}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{2}$:

         1. Sustituimos $u = \left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)$:

            1. diferenciamos $\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1$ miembro por miembro:

               1. diferenciamos $2 x^{2} + 4 x$ miembro por miembro:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                     Entonces, como resultado: $4 x$

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $4$

                  Como resultado de: $4 x + 4$

               2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $4 x + 4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\left(4 x + 4\right) \left(2 \left(2 x^{2} + 4 x\right) - 2\right)$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\left(4 x + 4\right) \left(2 \left(2 x^{2} + 4 x\right) - 2\right)}{\left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{4}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{5 \left(4 x + 4\right) \left(2 \left(2 x^{2} + 4 x\right) - 2\right)}{\left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{4}}$

   Como resultado de: $\frac{5 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{5 \left(4 x + 4\right) \left(2 \left(2 x^{2} + 4 x\right) - 2\right)}{\left(\left(2 x^{2} + 4 x\right) - 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5 \left(- 16 x + \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}} \left(2 x^{2} + 4 x - 1\right)^{3} - 16\right)}{2 \left(2 x^{2} + 4 x - 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{5 \left(- 16 x + \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}} \left(2 x^{2} + 4 x - 1\right)^{3} - 16\right)}{2 \left(2 x^{2} + 4 x - 1\right)^{3}}$